原文链接: https://leetcode-cn.com/problems/sum-of-all-odd-length-subarrays
英文原文
Given an array of positive integers arr, calculate the sum of all possible odd-length subarrays.
A subarray is a contiguous subsequence of the array.
Return the sum of all odd-length subarrays of arr.
Example 1:
Input: arr = [1,4,2,5,3] Output: 58 Explanation: The odd-length subarrays of arr and their sums are: [1] = 1 [4] = 4 [2] = 2 [5] = 5 [3] = 3 [1,4,2] = 7 [4,2,5] = 11 [2,5,3] = 10 [1,4,2,5,3] = 15 If we add all these together we get 1 + 4 + 2 + 5 + 3 + 7 + 11 + 10 + 15 = 58
Example 2:
Input: arr = [1,2] Output: 3 Explanation: There are only 2 subarrays of odd length, [1] and [2]. Their sum is 3.
Example 3:
Input: arr = [10,11,12] Output: 66
Constraints:
1 <= arr.length <= 1001 <= arr[i] <= 1000
中文题目
给你一个正整数数组 arr ，请你计算所有可能的奇数长度子数组的和。
子数组 定义为原数组中的一个连续子序列。
请你返回 arr 中 所有奇数长度子数组的和 。
示例 1：
输入：arr = [1,4,2,5,3] 输出：58 解释：所有奇数长度子数组和它们的和为： [1] = 1 [4] = 4 [2] = 2 [5] = 5 [3] = 3 [1,4,2] = 7 [4,2,5] = 11 [2,5,3] = 10 [1,4,2,5,3] = 15 我们将所有值求和得到 1 + 4 + 2 + 5 + 3 + 7 + 11 + 10 + 15 = 58
示例 2：
输入：arr = [1,2] 输出：3 解释：总共只有 2 个长度为奇数的子数组，[1] 和 [2]。它们的和为 3 。
示例 3：
输入：arr = [10,11,12] 输出：66
提示：
1 <= arr.length <= 1001 <= arr[i] <= 1000
通过代码
高赞题解
首先，力扣比赛第一题通常无脑暴力都能过。
我们只需要枚举所有的奇数长度的子数组即可。在下面的代码中，i 用来枚举每个连续子数组的起点，sz 为连续子数组的长度。accumulate用来计算起点是 i，长度为 sz 的子数组的和。时间复杂度是 O(n^3) 的。
我的参考代码（C++）：
class Solution {
public:
int sumOddLengthSubarrays(vector<int>& arr) {
int res = 0;
for(int i = 0; i < arr.size(); i ++)
for(int sz = 1; i + sz - 1 < arr.size(); sz += 2)
res += accumulate(arr.begin() + i, arr.begin() + i + sz, 0);
return res;
}
}; 我的提交结果：时间 24ms；空间 8.2 MB。
在上面的解法中，accumulate的本质就是在计算从 arr[i] 到 arr[i + sz - 1] 的连续子数组的和。计算连续子数组的和，很容想到可以使用前缀和（Prefix Sum）的方式。使用 O(n) 的时间可以预处理前缀和数组，之后使用 O(1) 的时间即可计算出一个连续子数组的和。
时间复杂度是 O(n^2) 的，空间复杂度是 O(n) 的。
我的参考代码（C++）：
class Solution {
public:
int sumOddLengthSubarrays(vector<int>& arr) {
vector<int> presum = {0};
for(int e: arr) presum.push_back(presum.back() + e);
int res = 0;
for(int i = 0; i < arr.size(); i ++)
for(int sz = 1; i + sz - 1 < arr.size(); sz += 2)
res += presum[i + sz] - presum[i];
return res;
}
};我的提交结果：时间 8ms；空间 8.6 MB。
下面重点来了。这个问题有 O(n) 的解法。
其实想法很简单，相对也比较套路。就是遍历一遍所有的元素，然后查看这个元素会在多少个长度为奇数的数组中出现过。
比如题目给出的第一个测试用例 [1, 4, 2, 5, 3] 中；
1 在 3 个长度为奇数的数组中出现过：[1], [1, 4, 2], [1, 4, 2, 5, 3]；所以最终的和，要加上 1 * 3；
4 在 4 个长度为奇数的数组中出现过：[4], [4, 2, 5], [1, 4, 2], [1, 4, 2, 5, 3]；所以最终和，要加上 4 * 4；
2 在 5 个长度为奇数的数组中出现过：[2], [2, 5, 3], [4, 2, 5], [1, 4, 2], [1, 4, 2, 5, 3]；所以最终和，要加上 5 * 2；
…
下面的关键就是，如何计算一个数字在多少个奇数长度的数组中出现过？
对于一个数字，它所在的数组，可以在它前面再选择 0, 1, 2, … 个数字，一共有 left = i + 1 个选择；
可以在它后面再选择 0, 1, 2, … 个数字，一共有 right = n - i 个选择。
如果在前面选择了偶数个数字，那么在后面，也必须选择偶数个数字，这样加上它自身，才构成奇数长度的数组；
如果在前面选择了奇数个数字，那么在后面，也必须选择奇数个数字，这样加上它自身，才构成奇数长度的数组；
数字前面共有 left 个选择，其中偶数个数字的选择方案有 left_even = (left + 1) / 2 个，奇数个数字的选择方案有 left_odd = left / 2 个；
数字后面共有 right 个选择，其中偶数个数字的选择方案有 right_even = (right + 1) / 2 个，奇数个数字的选择方案有 right_odd = right / 2 个；
所以，每个数字一共在 left_even * right_even + left_odd * right_odd 个奇数长度的数组中出现过。
我的参考代码（C++）：
class Solution {
public:
int sumOddLengthSubarrays(vector<int>& arr) {
int res = 0;
for(int i = 0; i < arr.size(); i ++){
int left = i + 1, right = arr.size() - i,
left_even = (left + 1) / 2, right_even = (right + 1) / 2,
left_odd = left / 2, right_odd = right / 2;
res += (left_even * right_even + left_odd * right_odd) * arr[i];
}
return res;
}
};我的提交结果：时间 4ms；空间 8 MB。
O(n) 的解法可以应对 10^6 乃至 10^7 的数字规模。如果这道题的数字规模是这样的，那么上面两种解法都将超时，这个问题也就变成了一个 Medium 甚至是 Hard 的问题了吧：）
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## 统计信息
| 通过次数 | 提交次数 | AC比率 |
| :------: | :------: | :------: |
| 44932 | 53552 | 83.9% |
## 提交历史
| 提交时间 | 提交结果 | 执行时间 | 内存消耗 | 语言 |
| :------: | :------: | :------: | :--------: | :--------: |
