原文链接: https://leetcode-cn.com/problems/qing-wa-tiao-tai-jie-wen-ti-lcof
中文题目
一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级台阶。求该青蛙跳上一个 n 级的台阶总共有多少种跳法。
答案需要取模 1e9+7（1000000007），如计算初始结果为：1000000008，请返回 1。
示例 1：
输入：n = 2 输出：2
示例 2：
输入：n = 7 输出：21
示例 3：
输入：n = 0 输出：1
提示：
0 <= n <= 100
注意：本题与主站 70 题相同：https://leetcode-cn.com/problems/climbing-stairs/
通过代码
高赞题解
解题思路：
此类求 多少种可能性 的题目一般都有 递推性质 ，即 $f(n)$ 和 $f(n-1)$…$f(1)$ 之间是有联系的。
- 设跳上 $n$ 级台阶有 $f(n)$ 种跳法。在所有跳法中，青蛙的最后一步只有两种情况： 跳上 $1$ 级或 $2$ 级台阶。
- 当为 $1$ 级台阶： 剩 $n-1$ 个台阶，此情况共有 $f(n-1)$ 种跳法；
- 当为 $2$ 级台阶： 剩 $n-2$ 个台阶，此情况共有 $f(n-2)$ 种跳法。
- $f(n)$ 为以上两种情况之和，即 $f(n)=f(n-1)+f(n-2)$ ，以上递推性质为斐波那契数列。本题可转化为 求斐波那契数列第 $n$ 项的值 ，与 面试题10- I. 斐波那契数列 等价，唯一的不同在于起始数字不同。
- 青蛙跳台阶问题： $f(0)=1$ , $f(1)=1$ , $f(2)=2$ ；
- 斐波那契数列问题： $f(0)=0$ , $f(1)=1$ , $f(2)=1$ 。
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斐波那契数列的定义是 $f(n + 1) = f(n) + f(n - 1)$ ，生成第 $n$ 项的做法有以下几种：
- 递归法：
- 原理： 把 $f(n)$ 问题的计算拆分成 $f(n-1)$ 和 $f(n-2)$ 两个子问题的计算，并递归，以 $f(0)$ 和 $f(1)$ 为终止条件。
- 缺点： 大量重复的递归计算，例如 $f(n)$ 和 $f(n - 1)$ 两者向下递归都需要计算 $f(n - 2)$ 的值。
- 记忆化递归法：
- 原理： 在递归法的基础上，新建一个长度为 $n$ 的数组，用于在递归时存储 $f(0)$ 至 $f(n)$ 的数字值，重复遇到某数字时则直接从数组取用，避免了重复的递归计算。
- 缺点： 记忆化存储的数组需要使用 $O(N)$ 的额外空间。
- 动态规划：
- 原理： 以斐波那契数列性质 $f(n + 1) = f(n) + f(n - 1)$ 为转移方程。
- 从计算效率、空间复杂度上看，动态规划是本题的最佳解法。
动态规划解析：
- 状态定义： 设 $dp$ 为一维数组，其中 $dp[i]$ 的值代表
斐波那契数列第 $i$ 个数字。 - 转移方程： $dp[i + 1] = dp[i] + dp[i - 1]$ ，即对应数列定义 $f(n + 1) = f(n) + f(n - 1)$ ；
- 初始状态： $dp[0] = 1$, $dp[1] = 1$ ，即初始化前两个数字；
- 返回值： $dp[n]$ ，即斐波那契数列的第 $n$ 个数字。
空间复杂度优化：
若新建长度为 $n$ 的 $dp$ 列表，则空间复杂度为 $O(N)$ 。
- 由于 $dp$ 列表第 $i$ 项只与第 $i-1$ 和第 $i-2$ 项有关，因此只需要初始化三个整形变量
sum,a,b，利用辅助变量 $sum$ 使 $a, b$ 两数字交替前进即可 （具体实现见代码） 。 - 因为节省了 $dp$ 列表空间，因此空间复杂度降至 $O(1)$ 。
循环求余法：
大数越界： 随着 $n$ 增大, $f(n)$ 会超过
Int32甚至Int64的取值范围，导致最终的返回值错误。
- 求余运算规则： 设正整数 $x, y, p$ ，求余符号为 $\odot$ ，则有 $(x + y) \odot p = (x \odot p + y \odot p) \odot p$ 。
- 解析： 根据以上规则，可推出 $f(n) \odot p = [f(n-1) \odot p + f(n-2) \odot p] \odot p$ ，从而可以在循环过程中每次计算 $sum = a + b \odot 1000000007$ ，此操作与最终返回前取余等价。
图解基于 Java 代码绘制，Python 由于语言特性可以省去 $sum$ 辅助变量和大数越界处理。
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复杂度分析：
- 时间复杂度 $O(N)$ ： 计算 $f(n)$ 需循环 $n$ 次，每轮循环内计算操作使用 $O(1)$ 。
- 空间复杂度 $O(1)$ ： 几个标志变量使用常数大小的额外空间。
代码：
由于 Python 中整形数字的大小限制 取决计算机的内存 （可理解为无限大），因此可不考虑大数越界问题。
[]class Solution: def numWays(self, n: int) -> int: a, b = 1, 1 for _ in range(n): a, b = b, a + b return a % 1000000007
[]class Solution { public int numWays(int n) { int a = 1, b = 1, sum; for(int i = 0; i < n; i++){ sum = (a + b) % 1000000007; a = b; b = sum; } return a; } }
统计信息
| 通过次数 | 提交次数 | AC比率 |
|---|---|---|
| 212166 | 475971 | 44.6% |
提交历史
| 提交时间 | 提交结果 | 执行时间 | 内存消耗 | 语言 |
|---|
