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面试题 08.01-三步问题(Three Steps Problem LCCI)
发表于:2021-12-03 | 分类: 简单
字数统计: 1.3k | 阅读时长: 6分钟 | 阅读量:

原文链接: https://leetcode-cn.com/problems/three-steps-problem-lcci

英文原文

A child is running up a staircase with n steps and can hop either 1 step, 2 steps, or 3 steps at a time. Implement a method to count how many possible ways the child can run up the stairs. The result may be large, so return it modulo 1000000007.

Example1:

 Input: n = 3 
 Output: 4

Example2:

 Input: n = 5
 Output: 13

Note:

  1. 1 <= n <= 1000000

中文题目

三步问题。有个小孩正在上楼梯,楼梯有n阶台阶,小孩一次可以上1阶、2阶或3阶。实现一种方法,计算小孩有多少种上楼梯的方式。结果可能很大,你需要对结果模1000000007。

示例1:

 输入:n = 3 
 输出:4
 说明: 有四种走法

示例2:

 输入:n = 5
 输出:13

提示:

  1. n范围在[1, 1000000]之间

通过代码

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题目还是昨天的题,昨天已经介绍了三种解法了,今天介绍一个最快的方法。

题目链接

LeetCode 面试题 08.01. 三步问题

题目描述

三步问题。有个小孩正在上楼梯,楼梯有 $n$ 阶台阶,小孩一次可以上 $1$ 阶、$2$ 阶或 $3$ 阶。实现一种方法,计算小孩有多少种上楼梯的方式。结果可能很大,你需要对结果模 $1000000007$。

示例1

输入:
n = 3 
输出:
4
解释:
有四种走法

示例2

输入:
n = 5
输出:
13

题解

昨天的题解地址:
韦阳的博客:【每日算法Day 79】所有人都会做的入门题,但是能看出你的代码能力!

知乎专栏:【每日算法Day 79】所有人都会做的入门题,但是能看出你的代码能力!

昨天是通过动态规划来解决的,转移方程为:
$$
f[i] = f[i-1] + f[i-2] + f[i-3]
$$
初始情况是 $f[1] = 1, f[2] = 2, f[3] = 4$ 。

如果通过递推的方式来求解的话,时间复杂度是 $O(n)$ ,但是我们还可以用矩阵快速幂的方法加速到 $O(\log n)$ 。

相信大家快速幂一定听说过(没听说过当我没说),如果让你求 $a^n$,那么可以分两种情况。如果 $n$ 是偶数,那么可以计算 $a^{n/2}$,然后求它的平方 $(a^{n/2})^2$ 就行了。如果 $n$ 是奇数,那么可以计算 $a^{(n-1)/2}$,然后求它的平方 $a \cdot (a^{(n-1)/2})^2$ 就行了。这样只需要用 $O(\log n)$ 的复杂度就可以计算出 $a^n$ 了。

类似的,如果我们要计算一个矩阵的幂 $A^n$,也可以将其拆分成两半,然后计算一半再平方就行了。

那么这题跟矩阵有什么关系呢?如果我们把转移方程右边三项写成向量形式:
$$
\begin{bmatrix}
f_{i-3} & f_{i-2} & f_{i-1}
\end{bmatrix}
$$
那么给它右边乘上一个矩阵 $A$:
$$
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 1 \
1 & 0 & 1 \
0 & 1 & 1
\end{bmatrix}
$$
那么就会得到向量:
$$
\begin{bmatrix}
f_{i-2} & f_{i-1} & f_{i-1}+f_{i-2}+f_{i-3}
\end{bmatrix}
$$
即:
$$
\begin{bmatrix}
f_{i-2} & f_{i-1} & f_{i}
\end{bmatrix}
$$
所以乘一次矩阵 $A$ 就可以得到下一个 $f$ 值,那么从初始的向量 $\begin{bmatrix}1 & 2 & 4\end{bmatrix}$ 开始,乘上 $A^{n-3}$ 就可以得到 $\begin{bmatrix}f_{n-2} & f_{n-1} & f_{n}\end{bmatrix}$ 了。

而这里的 $A^{n-3}$ 就可以通过矩阵快速幂来计算得到。

代码

c++

typedef long long ll;
typedef vector<vector<ll>> vvl;
typedef vector<ll> vl;
const ll p = 1e9+7;

class Solution {
public:
    vvl mat_mul(vvl& A, vvl& B) {
        int a = A.size(), b = B.size(), c = B[0].size();
        vvl C(a, vl(c, 0));
        for (int i = 0; i < a; ++i) {
            for (int j = 0; j < c; ++j) {
                for (int k = 0; k < b; ++k) {
                    (C[i][j] += A[i][k] * B[k][j]) %= p;
                }
            }
        }
        return C;
    }

    vvl mat_pow(vvl& A, int n) {
        int m = A.size();
        vvl B(m, vl(m, 0));
        for (int i = 0; i < m; ++i) B[i][i] = 1;
        while (n > 0) {
            if (n&1) B = mat_mul(B, A);
            A = mat_mul(A, A);
            n >>= 1;
        }
        return B;
    }

    vvl mat_pow_rec(vvl& A, int n) {
        if (n == 1) return A;
        vvl B = mat_pow_rec(A, n/2);
        B = mat_mul(B, B);
        if (n&1) return mat_mul(A, B);
        return B;
    }

    int waysToStep(int n) {
        vl f = {1, 2, 4};
        if (n <= 3) return f[n-1];
        vvl A = {{0, 0, 1}, {1, 0, 1}, {0, 1, 1}};
        vvl B = mat_pow(A, n-3);
        ll res = 0;
        for (int i = 0; i < 3; ++i) {
            (res += f[i] * B[i][2]) %= p;
        }
        return res;
    }
};

python

import numpy as np

class Solution:
    def mat_pow(self, A, n):
        m = A.shape[0]
        B = np.eye(m, dtype=np.int64)
        while n > 0:
            if (n&1)!=0:
                B = np.mod(np.matmul(B, A), self.p).astype(np.int64)
            A = np.mod(np.matmul(A, A), self.p).astype(np.int64)
            n >>= 1
        return B;

    def waysToStep(self, n: int) -> int:
        self.p = int(1e9+7)
        f = [1, 2, 4]
        if n <= 3: return f[n-1]
        A = np.array([[0, 0, 1], [1, 0, 1], [0, 1, 1]], dtype=np.int64)
        B = self.mat_pow(A, n-3)
        res = 0
        for i in range(3):
            res += f[i] * B[i][2]
        return int(res%self.p)

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