原文链接: https://leetcode-cn.com/problems/constrained-subsequence-sum

英文原文

Given an integer array nums and an integer k, return the maximum sum of a non-empty subsequence of that array such that for every two consecutive integers in the subsequence, nums[i] and nums[j], where i < j, the condition j - i <= k is satisfied.

A subsequence of an array is obtained by deleting some number of elements (can be zero) from the array, leaving the remaining elements in their original order.

 

Example 1:

Input: nums = [10,2,-10,5,20], k = 2
Output: 37
Explanation: The subsequence is [10, 2, 5, 20].

Example 2:

Input: nums = [-1,-2,-3], k = 1
Output: -1
Explanation: The subsequence must be non-empty, so we choose the largest number.

Example 3:

Input: nums = [10,-2,-10,-5,20], k = 2
Output: 23
Explanation: The subsequence is [10, -2, -5, 20].

 

Constraints:

• 1 <= k <= nums.length <= 105
• -104 <= nums[i] <= 104

中文题目

给你一个整数数组 nums 和一个整数 k ，请你返回 非空 子序列元素和的最大值，子序列需要满足：子序列中每两个 相邻 的整数 nums[i] 和 nums[j] ，它们在原数组中的下标 i 和 j 满足 i < j 且 j - i <= k 。

数组的子序列定义为：将数组中的若干个数字删除（可以删除 0 个数字），剩下的数字按照原本的顺序排布。

 

示例 1：

输入：nums = [10,2,-10,5,20], k = 2
输出：37
解释：子序列为 [10, 2, 5, 20] 。

示例 2：

输入：nums = [-1,-2,-3], k = 1
输出：-1
解释：子序列必须是非空的，所以我们选择最大的数字。

示例 3：

输入：nums = [10,-2,-10,-5,20], k = 2
输出：23
解释：子序列为 [10, -2, -5, 20] 。

 

提示：

• 1 <= k <= nums.length <= 10^5
• -10^4 <= nums[i] <= 10^4

通过代码

高赞题解

解题思路

定义状态dp[i]为以i结尾的的最大子序和，那么当考虑第i+1个的时候，由于相邻两个下标差距不大于k且非空，所以有以下状态转移方程

$$dp[i+1] = max(nums[i+1], dp[i+1-j] + nums[i+1])$$
$$ for 1 <= j <= k $$

如果使用蛮力法的话，时间复杂度$O(nk)$，会超时。所以需要优化。

由于当前时刻只依赖于前k个时刻的状态，所以快速找到前k个状态中的最大的即可。这个时候联想到滑动窗口最大的题目。

题目链接

使用单调栈来进行优化，最终的时间复杂度为$O(n)$

谢谢 @zerotrac2的提醒，已改成双端队列

个人博客

代码

from collections import deque
class Solution:
    def constrainedSubsetSum(self, nums: List[int], k: int) -> int:
        n = len(nums)
        dp = nums[:]
        dp[0] = nums[0]
        res = nums[0]
        s = deque()
        s.append((nums[0], 0))
        for i in range(1, len(nums)):
            dp[i] = max(dp[i], s[0][0] + nums[i])
            while s and s[-1][0] <= dp[i]:
                s.pop()
            s.append((dp[i], i))
            if s[0][1] <= i - k:
                s.popleft()
            res = max(res, dp[i])
        return res

统计信息

通过次数	提交次数	AC比率
3376	7616	44.3%

提交历史

提交时间	提交结果	执行时间	内存消耗	语言