原文链接: https://leetcode-cn.com/problems/expression-add-operators
英文原文
Given a string num that contains only digits and an integer target, return all possibilities to insert the binary operators '+', '-', and/or '*' between the digits of num so that the resultant expression evaluates to the target value.
Note that operands in the returned expressions should not contain leading zeros.
Example 1:
Input: num = "123", target = 6 Output: ["1*2*3","1+2+3"] Explanation: Both "1*2*3" and "1+2+3" evaluate to 6.
Example 2:
Input: num = "232", target = 8 Output: ["2*3+2","2+3*2"] Explanation: Both "2*3+2" and "2+3*2" evaluate to 8.
Example 3:
Input: num = "105", target = 5 Output: ["1*0+5","10-5"] Explanation: Both "1*0+5" and "10-5" evaluate to 5. Note that "1-05" is not a valid expression because the 5 has a leading zero.
Example 4:
Input: num = "00", target = 0 Output: ["0*0","0+0","0-0"] Explanation: "0*0", "0+0", and "0-0" all evaluate to 0. Note that "00" is not a valid expression because the 0 has a leading zero.
Example 5:
Input: num = "3456237490", target = 9191 Output: [] Explanation: There are no expressions that can be created from "3456237490" to evaluate to 9191.
Constraints:
1 <= num.length <= 10numconsists of only digits.-231 <= target <= 231 - 1
中文题目
给定一个仅包含数字 0-9 的字符串 num 和一个目标值整数 target ，在 num 的数字之间添加 二元 运算符（不是一元）+、- 或 * ，返回所有能够得到目标值的表达式。
示例 1:
输入: num = "123", target = 6
输出: ["1+2+3", "1*2*3"]
示例 2:
输入: num = "232", target = 8
输出: ["2*3+2", "2+3*2"]
示例 3:
输入: num = "105", target = 5
输出: ["1*0+5","10-5"]
示例 4:
输入: num = "00", target = 0
输出: ["0+0", "0-0", "0*0"]
示例 5:
输入: num = "3456237490", target = 9191
输出: []
提示：
1 <= num.length <= 10num仅含数字-231 <= target <= 231 - 1
通过代码
高赞题解
回溯算法
最开始的想法是先使用 DFS 搜出来所有的表达式，然后套用 （题解）227. 基本计算器 II 方案，计算所有表达式的结果，并将计算结果为 $target$ 的表达式加到结果集。
假设原字符串 $num$ 的长度为 $n$，由于每个位置之间存在四种插入决策（不插入符号、+、- 和 *），共有 $n - 1$ 个位置需要决策，因此搜索所有表达式的复杂度为 $O(4^{n - 1})$；同时需要对所有的表达式执行计算，复杂度为 $O(n)$，整体复杂度为 $O(n * 4^{n - 1})$。
添加运算符后的表达式长度不会超过 $20$，因此总的计算量应该是在 $10^7$ 以内，但可能是因为常数问题超时了（各种优化双栈操作也还是 TLE，在这上面浪费了好多时间 QWQ）。
因此，我们需要考虑在搜索过程中进行计算，以避免使用 （题解）227. 基本计算器 II 这种常数较大的计算方式。
我们考虑如果只有 + 和 - 的话，可以很容易将运算和回溯搜索所有表达进行结合。但当存在 * 时，由于存在运算优先级的问题，我们需要记录形如 a + b * c 中的乘法部分。
实现上，除了记录当前决策到原串 $num$ 的哪一位 $u$，以及当前的运算结果 $cur$ 以外，还需要额外记录最后一次的计算结果 $prev$，然后在决策表达式中的第 $k$ 个部分时，对本次添加的运算符合做分情况讨论：
- 如果本次添加的
+操作，且第 $k$ 项的值是 $next$：那么直接使用 $cur + next$ 来更新 $cur$，同时 $next$ 作为下一次的 $prev$； - 如果本次添加的
-操作，且第 $k$ 项的值是 $next$：同理，那么直接使用 $cur - next$ 来更新 $cur$，同时 $-next$ 作为下一次的 $prev$； - 如果本次添加的
*操作，且第 $k$ 项的值是 $next$：此时需要考虑运算符的优先级问题，由于本次的 $next$ 是与上一次的操作数 $prev$ 执行乘法，而 $cur$ 已经累加了 $prev$ 的影响，因此需要先减去 $prev$，再加上 $prev * next$，以此来更新 $cur$，同时 $prev * next$ 也作为下一次的 $prev$。
一些细节：需要注意前导零（$0$ 单独作为一位是被允许的，但是多位且首部为 $0$ 是不允许的）以及 + 和 - 不作为一元运算符（运算符不能出现在表达式的首部）的情况。
代码：
[]class Solution { List<String> ans = new ArrayList<>(); String s; int n, t; public List<String> addOperators(String num, int target) { s = num; n = s.length(); t = target; dfs(0, 0, 0, ""); return ans; } void dfs(int u, long prev, long cur, String ss) { if (u == n) { if (cur == t) ans.add(ss); return ; } for (int i = u; i < n; i++) { if (i != u && s.charAt(u) == '0') break; long next = Long.parseLong(s.substring(u, i + 1)); if (u == 0) { dfs(i + 1, next, next, "" + next); } else { dfs(i + 1, next, cur + next, ss + "+" + next); dfs(i + 1, -next, cur - next, ss + "-" + next); long x = prev * next; dfs(i + 1, x, cur - prev + x, ss + "*" + next); } } } }
- 时间复杂度：$O(4^{n})$
- 空间复杂度：$O(4^{n})$
总结
该做法表面上，只是实现了边搜索边计算的功能，但其本质上是利用了实数集 $S$ 和运算符 +（- 的本质也是 +）和 * 能够组成代数系统。
利用代数系统 $(S, +, *)$，我们可以确保运算过程中的任意一个中间结果，都能使用形如 a + b * c 的形式进行表示，因此我们只需要多维护一个后缀串结果即可。
而代数系统的相关知识，以及如何确定能否作为一个代数系统，有兴趣的同学可以尝试去了解一下。
最后
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