英文原文
You are given n balloons, indexed from 0 to n - 1. Each balloon is painted with a number on it represented by an array nums. You are asked to burst all the balloons.
If you burst the ith balloon, you will get nums[i - 1] * nums[i] * nums[i + 1] coins. If i - 1 or i + 1 goes out of bounds of the array, then treat it as if there is a balloon with a 1 painted on it.
Return the maximum coins you can collect by bursting the balloons wisely.
Example 1:
Input: nums = [3,1,5,8] Output: 167 Explanation: nums = [3,1,5,8] --> [3,5,8] --> [3,8] --> [8] --> [] coins = 3*1*5 + 3*5*8 + 1*3*8 + 1*8*1 = 167
Example 2:
Input: nums = [1,5] Output: 10
Constraints:
n == nums.length1 <= n <= 5000 <= nums[i] <= 100
中文题目
有 n 个气球，编号为0 到 n - 1，每个气球上都标有一个数字，这些数字存在数组 nums 中。
现在要求你戳破所有的气球。戳破第 i 个气球，你可以获得 nums[i - 1] * nums[i] * nums[i + 1] 枚硬币。 这里的 i - 1 和 i + 1 代表和 i 相邻的两个气球的序号。如果 i - 1或 i + 1 超出了数组的边界，那么就当它是一个数字为 1 的气球。
求所能获得硬币的最大数量。
示例 1：
输入：nums = [3,1,5,8] 输出：167 解释： nums = [3,1,5,8] --> [3,5,8] --> [3,8] --> [8] --> [] coins = 3*1*5 + 3*5*8 + 1*3*8 + 1*8*1 = 167
示例 2：
输入：nums = [1,5] 输出：10
提示：
n == nums.length1 <= n <= 5000 <= nums[i] <= 100
通过代码
高赞题解
解题思路
我们来看一个区间，这个区间的气球长这样
{:width=300}
{:align=center}
假设这个区间是个开区间，最左边索引 i，最右边索引 j
我这里说 “开区间” 的意思是，我们只能戳爆 i 和 j 之间的气球，i 和 j 不要戳
DP思路是这样的，就先别管前面是怎么戳的，你只要管这个区间最后一个被戳破的是哪个气球
这最后一个被戳爆的气球就是 k
注意！！！！！
k是这个区间 最后一个 被戳爆的气球！！！！！
k是这个区间 最后一个 被戳爆的气球！！！！！
假设最后一个被戳爆的气球是粉色的，k 就是粉色气球的索引
然后由于 k 是最后一个被戳爆的，所以它被戳爆之前的场景是什么亚子？
{:width=300}
{:align=center}
是这样子的朋友们！因为是最后一个被戳爆的，所以它周边没有球了！没有球了！只有这个开区间首尾的 i 和 j 了！！
这就是为什么DP的状态转移方程是只和 i 和 j 位置的数字有关
假设 dp[i][j] 表示开区间 (i,j) 内你能拿到的最多金币
那么这个情况下
你在 (i,j) 开区间得到的金币可以由 dp[i][k] 和 dp[k][j] 进行转移
如果你此刻选择戳爆气球 k，那么你得到的金币数量就是：
total=dp[i][k]+val[i] * val[k] * val[j]+dp[k][j]
注：val[i] 表示 i 位置气球的数字
然后 (i,k) 和 (k,j) 也都是开区间
那你可能又想问了，戳爆粉色气球我能获得 val[i]*val[k]*val[j] 这么多金币我能理解(因为戳爆 k 的时候只剩下这三个气球了)，
但为什么前后只要加上 dp[i][k] 和 dp[k][j] 的值就行了呀？
因为 k 是最后一个被戳爆的，所以 (i,j) 区间中 k 两边的东西必然是先各自被戳爆了的，
左右两边互不干扰，大家可以细品一下
这就是为什么我们 DP 时要看 “最后一个被戳爆的” 气球，这就是为了让左右两边互不干扰，这大概就是一种分治的思想叭
所以你把 (i,k) 开区间所有气球戳爆，然后把戳爆这些气球的所有金币都收入囊中，金币数量记录在 dp[i][k]
同理，(k,j) 开区间你也已经都戳爆了，钱也拿了，记录在 dp[k][j]
所以你把这些之前已经拿到的钱 dp[i][k]+dp[k][j] 收着，
再加上新赚的钱 val[i]*val[k]*val[j] 不就得到你现在戳爆气球 k 一共手上能拿多少钱了吗
而你在 (i,j) 开区间可以选的 k 是有多个的，见一开头的图，除了粉色之外，你还可以戳绿色和红色
所以你枚举一下这几个 k，从中选择使得 total 值最大的即可用来更新 dp[i][j]
然后呢，你就从 (i,j) 开区间只有三个数字的时候开始计算，储存每个小区间可以得到金币的最大值
然后慢慢扩展到更大的区间，利用小区间里已经算好的数字来算更大的区间
就可以啦！撒花✿✿ヽ(^▽^)ノ✿！
附 Python 代码
[]class Solution: def maxCoins(self, nums: List[int]) -> int: #nums首尾添加1，方便处理边界情况 nums.insert(0,1) nums.insert(len(nums),1) store = [[0]*(len(nums)) for i in range(len(nums))] def range_best(i,j): m = 0 #k是(i,j)区间内最后一个被戳的气球 for k in range(i+1,j): #k取值在(i,j)开区间中 #以下都是开区间(i,k), (k,j) left = store[i][k] right = store[k][j] a = left + nums[i]*nums[k]*nums[j] + right if a > m: m = a store[i][j] = m #对每一个区间长度进行循环 for n in range(2,len(nums)): #区间长度 #长度从3开始，n从2开始 #开区间长度会从3一直到len(nums) #因为这里取的是range，所以最后一个数字是len(nums)-1 #对于每一个区间长度，循环区间开头的i for i in range(0,len(nums)-n): #i+n = len(nums)-1 #计算这个区间的最多金币 range_best(i,i+n) return store[0][len(nums)-1]
统计信息
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| 59531 | 87037 | 68.4% |
提交历史
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