924-尽量减少恶意软件的传播(Minimize Malware Spread)
发表于：2021-12-03 | 分类： 困难
字数统计: 2k | 阅读时长: 10分钟 | 阅读量：

原文链接: https://leetcode-cn.com/problems/minimize-malware-spread

英文原文

You are given a network of n nodes represented as an n x n adjacency matrix graph, where the ith node is directly connected to the jth node if graph[i][j] == 1.

Some nodes initial are initially infected by malware. Whenever two nodes are directly connected, and at least one of those two nodes is infected by malware, both nodes will be infected by malware. This spread of malware will continue until no more nodes can be infected in this manner.

Suppose M(initial) is the final number of nodes infected with malware in the entire network after the spread of malware stops. We will remove exactly one node from initial.

Return the node that, if removed, would minimize M(initial). If multiple nodes could be removed to minimize M(initial), return such a node with the smallest index.

Note that if a node was removed from the initial list of infected nodes, it might still be infected later due to the malware spread.

 

Example 1:

Input: graph = [[1,1,0],[1,1,0],[0,0,1]], initial = [0,1]
Output: 0

Example 2:

Input: graph = [[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]], initial = [0,2]
Output: 0

Example 3:

Input: graph = [[1,1,1],[1,1,1],[1,1,1]], initial = [1,2]
Output: 1

 

Constraints:

  • n == graph.length
  • n == graph[i].length
  • 2 <= n <= 300
  • graph[i][j] is 0 or 1.
  • graph[i][j] == graph[j][i]
  • graph[i][i] == 1
  • 1 <= initial.length <= n
  • 0 <= initial[i] <= n - 1
  • All the integers in initial are unique.

中文题目

在节点网络中，只有当 graph[i][j] = 1 时，每个节点 i 能够直接连接到另一个节点 j。

一些节点 initial 最初被恶意软件感染。只要两个节点直接连接，且其中至少一个节点受到恶意软件的感染，那么两个节点都将被恶意软件感染。这种恶意软件的传播将继续，直到没有更多的节点可以被这种方式感染。

假设 M(initial) 是在恶意软件停止传播之后，整个网络中感染恶意软件的最终节点数。

如果从初始列表中移除某一节点能够最小化 M(initial)， 返回该节点。如果有多个节点满足条件，就返回索引最小的节点。

请注意，如果某个节点已从受感染节点的列表 initial 中删除，它以后可能仍然因恶意软件传播而受到感染。

 

示例 1：

输入：graph = [[1,1,0],[1,1,0],[0,0,1]], initial = [0,1]
输出：0

示例 2：

输入：graph = [[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]], initial = [0,2]
输出：0

示例 3：

输入：graph = [[1,1,1],[1,1,1],[1,1,1]], initial = [1,2]
输出：1

 

提示：

  • 1 < graph.length = graph[0].length <= 300
  • 0 <= graph[i][j] == graph[j][i] <= 1
  • graph[i][i] == 1
  • 1 <= initial.length < graph.length
  • 0 <= initial[i] < graph.length

通过代码

官方题解

方法一： 深度优先搜索

思路

首先，把图中所有的连通分量各自标上不同的颜色，这可以用深度优先搜索来实现。

如题所述，如果 initial 中的两个节点的颜色相同（即属于同一个连通分量），那移除这种节点是不会减少 M(initial) 的，因为恶意软件会感染同一个连通分量中的所有节点。

因此，对于 initial 中颜色唯一的节点，从中选择一个移除来最大限度地减少被感染节点数。(如果有多个节点都可以达成最优解，就选择下标最小的节点。另外，如果没有颜色唯一的节点，就直接返回下标最小的节点。)

算法

算法包括以下几个部分：

  • 给连通分量上色： 遍历每个节点，如果它还没有颜色，就用深度优先搜索去遍历它所在的连通分量，同时给这个连通分量标上新的颜色。

  • 计算每个连通分量的大小： 数一下每个颜色的节点各有多少个。

  • 找到唯一的颜色： 找到 initial 中颜色唯一的节点。

  • 选择答案： 对于 initial 中颜色唯一的节点，计算这个颜色节点的个数。从中选出最大节点个数的那个，如果有多个最优解，选择其中节点下标最小的。

  • 如果没有颜色唯一的节点，直接返回 min(initial)。

[solution1-Java]
class Solution {
    public int minMalwareSpread(int[][] graph, int[] initial) {
        // 1. Color each component.
        // colors[node] = the color of this node.

        int N = graph.length;
        int[] colors = new int[N];
        Arrays.fill(colors, -1);
        int C = 0;

        for (int node = 0; node < N; ++node)
            if (colors[node] == -1)
                dfs(graph, colors, node, C++);

        // 2. Size of each color.
        int[] size = new int[C];
        for (int color: colors)
            size[color]++;

        // 3. Find unique colors.
        int[] colorCount = new int[C];
        for (int node: initial)
            colorCount[colors[node]]++;

        // 4. Answer
        int ans = Integer.MAX_VALUE;
        for (int node: initial) {
            int c = colors[node];
            if (colorCount[c] == 1) {
                if (ans == Integer.MAX_VALUE)
                    ans = node;
                else if (size[c] > size[colors[ans]])
                    ans = node;
                else if (size[c] == size[colors[ans]] && node < ans)
                    ans = node;
            }
        }

        if (ans == Integer.MAX_VALUE)
            for (int node: initial)
                ans = Math.min(ans, node);

        return ans;
    }

    public void dfs(int[][] graph, int[] colors, int node, int color) {
        colors[node] = color;
        for (int nei = 0; nei < graph.length; ++nei)
            if (graph[node][nei] == 1 && colors[nei] == -1)
                dfs(graph, colors, nei, color);
    }
}
[solution1-Python]
class Solution(object):
    def minMalwareSpread(self, graph, initial):
        # 1. Color each component.
        # colors[node] = the color of this node.

        N = len(graph)
        colors = {}
        c = 0

        def dfs(node, color):
            colors[node] = color
            for nei, adj in enumerate(graph[node]):
                if adj and nei not in colors:
                    dfs(nei, color)

        for node in xrange(N):
            if node not in colors:
                dfs(node, c)
                c += 1

        # 2. Size of each color.
        # size[color] = number of occurrences of this color.
        size = collections.Counter(colors.values())

        # 3. Find unique colors.
        color_count = collections.Counter()
        for node in initial:
            color_count[colors[node]] += 1

        # 4. Answer
        ans = float('inf')
        for x in initial:
            c = colors[x]
            if color_count[c] == 1:
                if ans == float('inf'):
                    ans = x
                elif size[c] > size[colors[ans]]:
                    ans = x
                elif size[c] == size[colors[ans]] and x < ans:
                    ans = x

        return ans if ans < float('inf') else min(initial)

复杂度分析

  • 事件复杂度： $O(N^2)$，其中 $N$ 是 graph 的大小。

  • 空间复杂度： $O(N)$。

方法二： 并查集

思路和算法

同 方法一 一样，也得找出图中所有的连通分量，不同的是这一步用并查集来做。

在并查集中会额外计算连通分量的大小，当合并两个连通分量的时候，会把它们的大小进行累加。

借助并查集，可以用 方法一 中一样的思路处理：对于 initial 中每个颜色唯一的节点，都去计算连通分量的大小，从中找到最优解。如果 initial 中没有颜色唯一的节点，直接返回 min(initial)。

简洁起见，实现的并查集没有根据 rank 合并，这会让渐进复杂度变大一点。

[solution2-Java]
class Solution {
    public int minMalwareSpread(int[][] graph, int[] initial) {
        int N = graph.length;
        DSU dsu = new DSU(N);
        for (int i = 0; i < N; ++i)
            for (int j = i+1; j < N; ++j)
                if (graph[i][j] == 1)
                    dsu.union(i, j);

        int[] count = new int[N];
        for (int node: initial)
            count[dsu.find(node)]++;

        int ans = -1, ansSize = -1;
        for (int node: initial) {
            int root = dsu.find(node);
            if (count[root] == 1) {  // unique color
                int rootSize = dsu.size(root);
                if (rootSize > ansSize) {
                    ansSize = rootSize;
                    ans = node;
                } else if (rootSize == ansSize && node < ans) {
                    ansSize = rootSize;
                    ans = node;
                }
            }
        }

        if (ans == -1) {
            ans = Integer.MAX_VALUE;
            for (int node: initial)
                ans = Math.min(ans, node);
        }
        return ans;
    }
}


class DSU {
    int[] p, sz;

    DSU(int N) {
        p = new int[N];
        for (int x = 0; x < N; ++x)
            p[x] = x;

        sz = new int[N];
        Arrays.fill(sz, 1);
    }

    public int find(int x) {
        if (p[x] != x)
            p[x] = find(p[x]);
        return p[x];
    }

    public void union(int x, int y) {
        int xr = find(x);
        int yr = find(y);
        p[xr] = yr;
        sz[yr] += sz[xr];
    }

    public int size(int x) {
        return sz[find(x)];
    }
}
[solutino2-Python]
class DSU:
    def __init__(self, N):
        self.p = range(N)
        self.sz = [1] * N

    def find(self, x):
        if self.p[x] != x:
            self.p[x] = self.find(self.p[x])
        return self.p[x]

    def union(self, x, y):
        xr = self.find(x)
        yr = self.find(y)
        self.p[xr] = yr
        self.sz[yr] += self.sz[xr]

    def size(self, x):
        return self.sz[self.find(x)]


class Solution(object):
    def minMalwareSpread(self, graph, initial):
        dsu = DSU(len(graph))

        for j, row in enumerate(graph):
            for i in xrange(j):
                if row[i]:
                    dsu.union(i, j)

        count = collections.Counter(dsu.find(u) for u in initial)
        ans = (-1, min(initial))
        for node in initial:
            root = dsu.find(node)
            if count[root] == 1:  # unique color
                if dsu.size(root) > ans[0]:
                    ans = dsu.size(root), node
                elif dsu.size(root) == ans[0] and node < ans[1]:
                    ans = dsu.size(root), node

        return ans[1]

复杂度分析

  • 时间复杂度： $O(N^2)$，其中 $N$ 是 graph 的大小。

  • 空间复杂度： $O(N)$。

统计信息

通过次数 提交次数 AC比率
6715 18673 36.0%

提交历史

提交时间 提交结果 执行时间 内存消耗 语言
数组 深度优先搜索 广度优先搜索 矩阵 并查集
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