原文链接: https://leetcode-cn.com/problems/longest-common-subsequence

英文原文

Given two strings text1 and text2, return the length of their longest common subsequence. If there is no common subsequence, return 0.

A subsequence of a string is a new string generated from the original string with some characters (can be none) deleted without changing the relative order of the remaining characters.

For example, "ace" is a subsequence of "abcde".

A common subsequence of two strings is a subsequence that is common to both strings.

Example 1:

Input: text1 = "abcde", text2 = "ace" 
Output: 3  
Explanation: The longest common subsequence is "ace" and its length is 3.

Example 2:

Input: text1 = "abc", text2 = "abc"
Output: 3
Explanation: The longest common subsequence is "abc" and its length is 3.

Example 3:

Input: text1 = "abc", text2 = "def"
Output: 0
Explanation: There is no such common subsequence, so the result is 0.

Constraints:

1 <= text1.length, text2.length <= 1000
text1 and text2 consist of only lowercase English characters.

中文题目

给定两个字符串 text1 和 text2，返回这两个字符串的最长 公共子序列 的长度。如果不存在 公共子序列 ，返回 0 。

一个字符串的 子序列 是指这样一个新的字符串：它是由原字符串在不改变字符的相对顺序的情况下删除某些字符（也可以不删除任何字符）后组成的新字符串。

例如，"ace" 是 "abcde" 的子序列，但 "aec" 不是 "abcde" 的子序列。

两个字符串的 公共子序列 是这两个字符串所共同拥有的子序列。

示例 1：

输入：text1 = "abcde", text2 = "ace" 
输出：3  
解释：最长公共子序列是 "ace" ，它的长度为 3 。

示例 2：

输入：text1 = "abc", text2 = "abc"
输出：3
解释：最长公共子序列是 "abc" ，它的长度为 3 。

示例 3：

输入：text1 = "abc", text2 = "def"
输出：0
解释：两个字符串没有公共子序列，返回 0 。

提示：

1 <= text1.length, text2.length <= 1000
text1 和 text2 仅由小写英文字符组成。

通过代码

高赞题解

各位题友大家好！今天是 @负雪明烛 坚持日更的第 69 天。今天力扣上的每日一题是「1143. 最长公共子序列」。

解题思路

求两个数组或者字符串的最长公共子序列问题，肯定是要用动态规划的。下面的题解并不难，你肯定能看懂。

首先，区分两个概念：子序列可以是不连续的；子数组（子字符串）需要是连续的；
另外，动态规划也是有套路的：单个数组或者字符串要用动态规划时，可以把动态规划 dp[i] 定义为 nums[0:i] 中想要求的结果；当两个数组或者字符串要用动态规划时，可以把动态规划定义成两维的 dp[i][j] ，其含义是在 A[0:i] 与 B[0:j] 之间匹配得到的想要的结果。

1. 状态定义

比如对于本题而言，可以定义 dp[i][j] 表示 text1[0:i-1] 和 text2[0:j-1] 的最长公共子序列。（注：text1[0:i-1] 表示的是 text1 的第 0 个元素到第 i - 1 个元素，两端都包含）
之所以 dp[i][j] 的定义不是 text1[0:i] 和 text2[0:j] ，是为了方便当 i = 0 或者 j = 0 的时候，dp[i][j]表示的为空字符串和另外一个字符串的匹配，这样 dp[i][j] 可以初始化为 0.

2. 状态转移方程

知道状态定义之后，我们开始写状态转移方程。

当 text1[i - 1] == text2[j - 1] 时，说明两个子字符串的最后一位相等，所以最长公共子序列又增加了 1，所以 dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1；举个例子，比如对于 ac 和 bc 而言，他们的最长公共子序列的长度等于 a 和 b 的最长公共子序列长度 0 + 1 = 1。
当 text1[i - 1] != text2[j - 1] 时，说明两个子字符串的最后一位不相等，那么此时的状态 dp[i][j] 应该是 dp[i - 1][j] 和 dp[i][j - 1] 的最大值。举个例子，比如对于 ace 和 bc 而言，他们的最长公共子序列的长度等于 ① ace 和 b 的最长公共子序列长度0 与 ② ac 和 bc 的最长公共子序列长度1 的最大值，即 1。

综上状态转移方程为：

$dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1$, 当 $text1[i - 1] == text2[j - 1];$
$dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1])$, 当 $text1[i - 1] != text2[j - 1]$

3. 状态的初始化

初始化就是要看当 i = 0 与 j = 0 时， dp[i][j] 应该取值为多少。

当 i = 0 时，dp[0][j] 表示的是 $text1$ 中取空字符串跟 $text2$ 的最长公共子序列，结果肯定为 0.
当 j = 0 时，dp[i][0] 表示的是 $text2$ 中取空字符串跟 $text1$ 的最长公共子序列，结果肯定为 0.

综上，当 i = 0 或者 j = 0 时，dp[i][j] 初始化为 0.

4. 遍历方向与范围

由于 dp[i][j] 依赖与 dp[i - 1][j - 1] , dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]，所以 $i$ 和 $j$ 的遍历顺序肯定是从小到大的。
另外，由于当 $i$ 和 $j$ 取值为 0 的时候，dp[i][j] = 0，而 dp 数组本身初始化就是为 0，所以，直接让 $i$ 和 $j$ 从 1 开始遍历。遍历的结束应该是字符串的长度为 $len(text1)$ 和 $len(text2)$。

5. 最终返回结果

由于 dp[i][j] 的含义是 text1[0:i-1] 和 text2[0:j-1] 的最长公共子序列。我们最终希望求的是 text1 和 text2 的最长公共子序列。所以需要返回的结果是 i = len(text1) 并且 j = len(text2) 时的 dp[len(text1)][len(text2)]。

代码

经过上面的分析，我们可以得到下面的代码。

[]
class Solution(object):
    def longestCommonSubsequence(self, text1, text2):
        M, N = len(text1), len(text2)
        dp = [[0] * (N + 1) for _ in range(M + 1)]
        for i in range(1, M + 1):
            for j in range(1, N + 1):
                if text1[i - 1] == text2[j - 1]:
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1
                else:
                    dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1])
        return dp[M][N]

[]
class Solution {
public:
    int longestCommonSubsequence(string text1, string text2) {
        const int M = text1.size();
        const int N = text2.size();
        vector<vector<int>> dp(M + 1, vector<int>(N + 1, 0));
        for (int i = 1; i <= M; ++i) {
            for (int j = 1; j <= N; ++j) {
                if (text1[i - 1] == text2[j - 1]) {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
                } else {
                    dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
                }
            }
        }
        return dp[M][N];
    }
};

[]
class Solution {
    public int longestCommonSubsequence(String text1, String text2) {
        int M = text1.length();
        int N = text2.length();
        int[][] dp = new int[M + 1][N + 1];
        for (int i = 1; i <= M; ++i) {
            for (int j = 1; j <= N; ++j) {
                if (text1.charAt(i - 1) == text2.charAt(j - 1)) {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
                } else {
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
                }
            }
        }
        return dp[M][N];
    }
}

时间复杂度：$O(MN)$
空间复杂度：$O(MN)$

躲坑

如果你是用 python 刷题，需要注意 dp二维数组的初始化，如果你的声明方式是下面这样，那么就是错的。

dp = [[0] * N ] * M

我们知道一维数组可以用 [0] * N 这种声明方式。但是二维数组不能用上面的声明方式，这会导致 dp 中的每行的列表是同一个 id，所以对其中一行的操作都会表现为每一行的操作，如下所示。

所以，在 Python 中声明二维数组的正确方式应该是使用 for 循环：

dp = [[0] * N for _ in range(M)]

这里利用 for 循环生成每一行，则每一行都是全新的，那么就不会产生上面的问题。

刷题心得

坚持写题解两个多月，我对动态规划越来越熟悉了，发现基本上也都是套路。大家不要因为动态规划难，所以遇到动态规划就躲着走。刷题是补短板的过程，越是不懂，就越要学会和练习它。学习就是死磕自己的舒适区，希望大家不要沉醉于自己擅长类型，要把每个类型的经典题目都做做，这样才能获得真正的进步。与君共勉。

参考资料：代码随想录

OK，以上就是 @负雪明烛写的今天题解的全部内容了，如果你觉得有帮助的话，求赞、求关注、求收藏。如果有疑问的话，请在下面评论，我会及时解答。

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凤起丶宛南

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