原文链接: https://leetcode-cn.com/problems/find-positive-integer-solution-for-a-given-equation

英文原文

Given a callable function f(x, y) with a hidden formula and a value z, reverse engineer the formula and return all positive integer pairs x and y where f(x,y) == z. You may return the pairs in any order.

While the exact formula is hidden, the function is monotonically increasing, i.e.:

• f(x, y) < f(x + 1, y)
• f(x, y) < f(x, y + 1)

The function interface is defined like this:

interface CustomFunction {
public:
  // Returns some positive integer f(x, y) for two positive integers x and y based on a formula.
  int f(int x, int y);
};

We will judge your solution as follows:

• The judge has a list of 9 hidden implementations of CustomFunction, along with a way to generate an answer key of all valid pairs for a specific z.
• The judge will receive two inputs: a function_id (to determine which implementation to test your code with), and the target z.
• The judge will call your findSolution and compare your results with the answer key.
• If your results match the answer key, your solution will be Accepted.

 

Example 1:

Input: function_id = 1, z = 5
Output: [[1,4],[2,3],[3,2],[4,1]]
Explanation: The hidden formula for function_id = 1 is f(x, y) = x + y.
The following positive integer values of x and y make f(x, y) equal to 5:
x=1, y=4 -> f(1, 4) = 1 + 4 = 5.
x=2, y=3 -> f(2, 3) = 2 + 3 = 5.
x=3, y=2 -> f(3, 2) = 3 + 2 = 5.
x=4, y=1 -> f(4, 1) = 4 + 1 = 5.

Example 2:

Input: function_id = 2, z = 5
Output: [[1,5],[5,1]]
Explanation: The hidden formula for function_id = 2 is f(x, y) = x * y.
The following positive integer values of x and y make f(x, y) equal to 5:
x=1, y=5 -> f(1, 5) = 1 * 5 = 5.
x=5, y=1 -> f(5, 1) = 5 * 1 = 5.

 

Constraints:

• 1 <= function_id <= 9
• 1 <= z <= 100
• It is guaranteed that the solutions of f(x, y) == z will be in the range 1 <= x, y <= 1000.
• It is also guaranteed that f(x, y) will fit in 32 bit signed integer if 1 <= x, y <= 1000.

中文题目

给你一个函数  f(x, y) 和一个目标结果 z，函数公式未知，请你计算方程 f(x,y) == z 所有可能的正整数 数对 x 和 y。满足条件的结果数对可以按任意顺序返回。

尽管函数的具体式子未知，但它是单调递增函数，也就是说：

• f(x, y) < f(x + 1, y)
• f(x, y) < f(x, y + 1)

函数接口定义如下：

interface CustomFunction {
public:
  // Returns some positive integer f(x, y) for two positive integers x and y based on a formula.
  int f(int x, int y);
};

你的解决方案将按如下规则进行评判：

• 判题程序有一个由 CustomFunction 的 9 种实现组成的列表，以及一种为特定的 z 生成所有有效数对的答案的方法。
• 判题程序接受两个输入：function_id（决定使用哪种实现测试你的代码）以及目标结果 z 。
• 判题程序将会调用你实现的 findSolution 并将你的结果与答案进行比较。
• 如果你的结果与答案相符，那么解决方案将被视作正确答案，即 Accepted 。

 

示例 1：

输入：function_id = 1, z = 5
输出：[[1,4],[2,3],[3,2],[4,1]]
解释：function_id = 1 暗含的函数式子为 f(x, y) = x + y
以下 x 和 y 满足 f(x, y) 等于 5：
x=1, y=4 -> f(1, 4) = 1 + 4 = 5
x=2, y=3 -> f(2, 3) = 2 + 3 = 5
x=3, y=2 -> f(3, 2) = 3 + 2 = 5
x=4, y=1 -> f(4, 1) = 4 + 1 = 5

示例 2：

输入：function_id = 2, z = 5
输出：[[1,5],[5,1]]
解释：function_id = 2 暗含的函数式子为 f(x, y) = x * y
以下 x 和 y 满足 f(x, y) 等于 5：
x=1, y=5 -> f(1, 5) = 1 * 5 = 5
x=5, y=1 -> f(5, 1) = 5 * 1 = 5

 

提示：

• 1 <= function_id <= 9
• 1 <= z <= 100
• 题目保证 f(x, y) == z 的解处于 1 <= x, y <= 1000 的范围内。
• 在 1 <= x, y <= 1000 的前提下，题目保证 f(x, y) 是一个 32 位有符号整数。

通过代码

高赞题解

暴力法

思路

• 遍历 x 从 1 到 z 的所有组合
  • 遍历 y 从 1 到 z 的所有组合
  • 如果两者作为变量使函数值等于目标值
  • 添加到答案中
• 输出
• 不推荐这个做法，完全没有利用到「递增」这个条件

  代码

• 一行搞定

  class Solution:
      def findSolution(self, customfunction: 'CustomFunction', z: int) -> List[List[int]]:
          return [[x,y]for x in range(1,z+1) for y in range(1,z+1) if customfunction.f(x,y) == z]

  复杂度分析

• 时间复杂度 $O(Z^2)$
• 空间复杂度，不算记录答案的空间是 $O(1)$

二分查找法

思路

• 先遍历 x
  • 对于每个 x ，可能存在一个对应的 y
  • 而 y 以及 f(x,y) 的值随着 y 的增加是增加的
  • 因此可以使用二分查找
• 不推荐使用这个做法，因为只利用到了函数 f 对 y 变量是递增的，没有利用到对 x 也是这样。

  代码

  class Solution:
      def findSolution(self, customfunction: 'CustomFunction', z: int) -> List[List[int]]:
          ans = []
          for x in range(1,z+1):
              left, right = 1, z
              while left < right:
                  mid = (left + right) // 2
                  res = customfunction.f(x,mid)
                  if res < z:
                      left = mid + 1
                  else:
                      right = mid
              if customfunction.f(x,left) == z:
                  ans.append([x,left])
          return ans
  

  复杂度

• 时间复杂度 $O(ZlogZ)$
• 空间复杂度，不算记录答案的空间是 $O(1)$

双指针法

思路

• 由于函数 f 对于两个变量的偏导都是正的，那么可以使用双指针法。
• 我们思考，先固定 x ，从1 开始，那么可以让 y 从后往前找到匹配值
• 如果匹配到了以后，那么对应于这个 x 已经没用了，x 可以增加
• 同时增加后的 x 要匹配的 y 就一定比上一个 y 少。
• 这就是双指针法的思路。
• 具体来讲就是
• 一个 x 指向头(1)，一个 y 指向尾(1000)
• 判断 x 和 y 能否使得函数值等于 z
  • 当这个函数值小了，就增加 x
  • 当这个函数值大了，就减少 y
  • 相等的时候添加到答案，同时 x 和 y 一起更新。
• 推荐使用这个方法，利用了函数 f 对两个变量的偏导都是正的这个条件。

  代码

  class Solution:
      def findSolution(self, customfunction: 'CustomFunction', z: int) -> List[List[int]]:
          ans,x,y = [],1,1000
          while x <= 1000 and y >= 1:
              res = customfunction.f(x,y)
              if res < z:
                  x += 1
              elif res > z: 
                  y -= 1
              if res == z:
                  ans.append([x,y])
                  x += 1
                  y -= 1
          return ans

  复杂度分析

• 时间复杂度 $O(Z)$
• 空间复杂度，不算记录答案的空间是 $O(1)$

统计信息

通过次数	提交次数	AC比率
10317	14514	71.1%

提交历史

提交时间	提交结果	执行时间	内存消耗	语言