原文链接: https://leetcode-cn.com/problems/unique-paths

英文原文

A robot is located at the top-left corner of a m x n grid (marked 'Start' in the diagram below).

The robot can only move either down or right at any point in time. The robot is trying to reach the bottom-right corner of the grid (marked 'Finish' in the diagram below).

How many possible unique paths are there?

 

Example 1:

Input: m = 3, n = 7
Output: 28

Example 2:

Input: m = 3, n = 2
Output: 3
Explanation:
From the top-left corner, there are a total of 3 ways to reach the bottom-right corner:
1. Right -> Down -> Down
2. Down -> Down -> Right
3. Down -> Right -> Down

Example 3:

Input: m = 7, n = 3
Output: 28

Example 4:

Input: m = 3, n = 3
Output: 6

 

Constraints:

• 1 <= m, n <= 100
• It's guaranteed that the answer will be less than or equal to 2 * 109.

中文题目

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。

问总共有多少条不同的路径？

 

示例 1：

输入：m = 3, n = 7
输出：28

示例 2：

输入：m = 3, n = 2
输出：3
解释：
从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。
1. 向右 -> 向下 -> 向下
2. 向下 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向下

示例 3：

输入：m = 7, n = 3
输出：28

示例 4：

输入：m = 3, n = 3
输出：6

 

提示：

• 1 <= m, n <= 100
• 题目数据保证答案小于等于 2 * 109

通过代码

高赞题解

思路

思路一：排列组合

因为机器到底右下角，向下几步，向右几步都是固定的，

比如，m=3, n=2，我们只要向下 1 步，向右 2 步就一定能到达终点。

所以有 $C_{m+n-2}^{m-1}$

[]
def uniquePaths(self, m: int, n: int) -> int:
        return int(math.factorial(m+n-2)/math.factorial(m-1)/math.factorial(n-1))

思路二：动态规划

我们令 dp[i][j] 是到达 i, j 最多路径

动态方程：dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]

注意，对于第一行 dp[0][j]，或者第一列 dp[i][0]，由于都是在边界，所以只能为 1

时间复杂度：$O(m*n)$

空间复杂度：$O(m * n)$

优化：因为我们每次只需要 dp[i-1][j],dp[i][j-1]

所以我们只要记录这两个数，直接看代码吧！

代码

思路二：

[1]
class Solution:
    def uniquePaths(self, m: int, n: int) -> int:
        dp = [[1]*n] + [[1]+[0] * (n-1) for _ in range(m-1)]
        #print(dp)
        for i in range(1, m):
            for j in range(1, n):
                dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]
        return dp[-1][-1]

[1]
class Solution {
    public int uniquePaths(int m, int n) {
        int[][] dp = new int[m][n];
        for (int i = 0; i < n; i++) dp[0][i] = 1;
        for (int i = 0; i < m; i++) dp[i][0] = 1;
        for (int i = 1; i < m; i++) {
            for (int j = 1; j < n; j++) {
                dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
            }
        }
        return dp[m - 1][n - 1];  
    }
}

优化1：空间复杂度 $O(2n)$

[2]
class Solution:
    def uniquePaths(self, m: int, n: int) -> int:
        pre = [1] * n
        cur = [1] * n
        for i in range(1, m):
            for j in range(1, n):
                cur[j] = pre[j] + cur[j-1]
            pre = cur[:]
        return pre[-1]

[2]
class Solution {
    public int uniquePaths(int m, int n) {
        int[] pre = new int[n];
        int[] cur = new int[n];
        Arrays.fill(pre, 1);
        Arrays.fill(cur,1);
        for (int i = 1; i < m;i++){
            for (int j = 1; j < n; j++){
                cur[j] = cur[j-1] + pre[j];
            }
            pre = cur.clone();
        }
        return pre[n-1]; 
    }
}

优化2：空间复杂度 $O(n)$

[3]
class Solution:
    def uniquePaths(self, m: int, n: int) -> int:
        cur = [1] * n
        for i in range(1, m):
            for j in range(1, n):
                cur[j] += cur[j-1]
        return cur[-1]

[3]
class Solution {
    public int uniquePaths(int m, int n) {
        int[] cur = new int[n];
        Arrays.fill(cur,1);
        for (int i = 1; i < m;i++){
            for (int j = 1; j < n; j++){
                cur[j] += cur[j-1] ;
            }
        }
        return cur[n-1];
    }
}

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