原文链接: https://leetcode-cn.com/problems/minimum-path-sum

英文原文

Given a m x n grid filled with non-negative numbers, find a path from top left to bottom right, which minimizes the sum of all numbers along its path.

Note: You can only move either down or right at any point in time.

 

Example 1:

Input: grid = [[1,3,1],[1,5,1],[4,2,1]]
Output: 7
Explanation: Because the path 1 → 3 → 1 → 1 → 1 minimizes the sum.

Example 2:

Input: grid = [[1,2,3],[4,5,6]]
Output: 12

 

Constraints:

• m == grid.length
• n == grid[i].length
• 1 <= m, n <= 200
• 0 <= grid[i][j] <= 100

中文题目

给定一个包含非负整数的 m x n 网格 grid ，请找出一条从左上角到右下角的路径，使得路径上的数字总和为最小。

说明：每次只能向下或者向右移动一步。

 

示例 1：

输入：grid = [[1,3,1],[1,5,1],[4,2,1]]
输出：7
解释：因为路径 1→3→1→1→1 的总和最小。

示例 2：

输入：grid = [[1,2,3],[4,5,6]]
输出：12

 

提示：

• m == grid.length
• n == grid[i].length
• 1 <= m, n <= 200
• 0 <= grid[i][j] <= 100

通过代码

高赞题解

解题思路：

此题是典型的动态规划题目。

• 状态定义：

  • 设 $dp$ 为大小 $m \times n$ 矩阵，其中 $dp[i][j]$ 的值代表直到走到 $(i,j)$ 的最小路径和。

• 转移方程：

  题目要求，只能向右或向下走，换句话说，当前单元格 $(i,j)$ 只能从左方单元格 $(i-1,j)$ 或上方单元格 $(i,j-1)$ 走到，因此只需要考虑矩阵左边界和上边界。

  • 走到当前单元格 $(i,j)$ 的最小路径和 $=$ “从左方单元格 $(i-1,j)$ 与 从上方单元格 $(i,j-1)$ 走来的 两个最小路径和中较小的 ” $+$ 当前单元格值 $grid[i][j]$ 。具体分为以下 $4$ 种情况：

  1. 当左边和上边都不是矩阵边界时： 即当$i \not= 0$, $j \not= 0$时，$dp[i][j] = min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + grid[i][j]$ ；

  2. 当只有左边是矩阵边界时： 只能从上面来，即当$i = 0, j \not= 0$时， $dp[i][j] = dp[i][j - 1] + grid[i][j]$ ；

  3. 当只有上边是矩阵边界时： 只能从左面来，即当$i \not= 0, j = 0$时， $dp[i][j] = dp[i - 1][j] + grid[i][j]$ ；

  4. 当左边和上边都是矩阵边界时： 即当$i = 0, j = 0$时，其实就是起点， $dp[i][j] = grid[i][j]$；

• 初始状态：

  • $dp$ 初始化即可，不需要修改初始 $0$ 值。

• 返回值：

  • 返回 $dp$ 矩阵右下角值，即走到终点的最小路径和。

其实我们完全不需要建立 $dp$ 矩阵浪费额外空间，直接遍历 $grid[i][j]$ 修改即可。这是因为：grid[i][j] = min(grid[i - 1][j], grid[i][j - 1]) + grid[i][j] ；原 $grid$ 矩阵元素中被覆盖为 $dp$ 元素后（都处于当前遍历点的左上方），不会再被使用到。

复杂度分析：

• 时间复杂度 $O(M \times N)$ ： 遍历整个 $grid$ 矩阵元素。

• 空间复杂度 $O(1)$ ： 直接修改原矩阵，不使用额外空间。

<,,,,,,,,,>

代码：

[]

class Solution:

    def minPathSum(self, grid: [[int]]) -> int:

        for i in range(len(grid)):

            for j in range(len(grid[0])):

                if i == j == 0: continue

                elif i == 0:  grid[i][j] = grid[i][j - 1] + grid[i][j]

                elif j == 0:  grid[i][j] = grid[i - 1][j] + grid[i][j]

                else: grid[i][j] = min(grid[i - 1][j], grid[i][j - 1]) + grid[i][j]

        return grid[-1][-1]

[]

class Solution {

    public int minPathSum(int[][] grid) {

        for(int i = 0; i < grid.length; i++) {

            for(int j = 0; j < grid[0].length; j++) {

                if(i == 0 && j == 0) continue;

                else if(i == 0)  grid[i][j] = grid[i][j - 1] + grid[i][j];

                else if(j == 0)  grid[i][j] = grid[i - 1][j] + grid[i][j];

                else grid[i][j] = Math.min(grid[i - 1][j], grid[i][j - 1]) + grid[i][j];

            }

        }

        return grid[grid.length - 1][grid[0].length - 1];

    }

}

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