原文链接: https://leetcode-cn.com/problems/rotated-digits

英文原文

An integer x is a good if after rotating each digit individually by 180 degrees, we get a valid number that is different from x. Each digit must be rotated - we cannot choose to leave it alone.

A number is valid if each digit remains a digit after rotation. For example:

• 0, 1, and 8 rotate to themselves,
• 2 and 5 rotate to each other (in this case they are rotated in a different direction, in other words, 2 or 5 gets mirrored),
• 6 and 9 rotate to each other, and
• the rest of the numbers do not rotate to any other number and become invalid.

Given an integer n, return the number of good integers in the range [1, n].

 

Example 1:

Input: n = 10
Output: 4
Explanation: There are four good numbers in the range [1, 10] : 2, 5, 6, 9.
Note that 1 and 10 are not good numbers, since they remain unchanged after rotating.

Example 2:

Input: n = 1
Output: 0

Example 3:

Input: n = 2
Output: 1

 

Constraints:

• 1 <= n <= 104

中文题目

我们称一个数 X 为好数, 如果它的每位数字逐个地被旋转 180 度后，我们仍可以得到一个有效的，且和 X 不同的数。要求每位数字都要被旋转。

如果一个数的每位数字被旋转以后仍然还是一个数字， 则这个数是有效的。0, 1, 和 8 被旋转后仍然是它们自己；2 和 5 可以互相旋转成对方（在这种情况下，它们以不同的方向旋转，换句话说，2 和 5 互为镜像）；6 和 9 同理，除了这些以外其他的数字旋转以后都不再是有效的数字。

现在我们有一个正整数 N, 计算从 1 到 N 中有多少个数 X 是好数？

 

示例：

输入: 10
输出: 4
解释: 
在[1, 10]中有四个好数： 2, 5, 6, 9。
注意 1 和 10 不是好数, 因为他们在旋转之后不变。

 

提示：

• N 的取值范围是 [1, 10000]。

通过代码

官方题解

方法一：暴力解法【通过】

思路

遍历从 1 到 N 的每个数字 X，判断 X 是否为好数。

• 如果 X 中存在 3、4、7 这样的无效数字，则 X 不是一个好数。

• 如果 X 中不存在 2、5、6、9 这样的旋转后会变成不同的数字，则 X 不是一个好数。

• 否则，X 可以旋转成一个不同的有效数字。

算法

判断数字 X 是否为好数，有两种实现方式。最直观的一种方法是把 X 转换成字符串然后解析；另一种方法是递归检查 X 的最后一位数字。

[solution1-Java]
class Solution {
    public int rotatedDigits(int N) {
        // Count how many n in [1, N] are good.
        int ans = 0;
        for (int n = 1; n <= N; ++n)
            if (good(n, false)) ans++;
        return ans;
    }

    // Return true if n is good.
    // The flag is true iff we have an occurrence of 2, 5, 6, 9.
    public boolean good(int n, boolean flag) {
        if (n == 0) return flag;

        int d = n % 10;
        if (d == 3 || d == 4 || d == 7) return false;
        if (d == 0 || d == 1 || d == 8) return good(n / 10, flag);
        return good(n / 10, true);
    }
}

[solution1-Python]
class Solution(object):
    def rotatedDigits(self, N):
        ans = 0
        # For each x in [1, N], check whether it's good
        for x in xrange(1, N+1):
            S = str(x)
            # Each x has only rotateable digits, and one of them
            # rotates to a different digit
            ans += (all(d not in '347' for d in S)
                    and any(d in '2569' for d in S))
        return ans

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(N \log N)$，检查每个 X 的每一位数字。

• 空间复杂度：$O(\log N)$，存储字符串或者 good 函数的调用栈。

方法二：动态规划【通过】

思路

根据好数定义，每个好数只能包含数字 0125689，并且至少包含 2569 中的一个。因此可以逐个写出小于等于 N 的所有好数。

这道题目可以使用动态规划解答。状态可以表示为三个变量 i, equality_flag, involution_flag。其中 i 表示当前正在写第 i 位数字；equality_flag 表示已经写出的 j 位数字是否等于 N 的 j 位前缀；involution_flag 表示从最高位到比当前位高一位的这段前缀中是否含有 2569 中的任意一个数字。

dp(i, equality_flag, involution_flag) 表示在特定 equality_flag，involution_flag 的状态下，有多少种从 i 到末尾的后缀能组成一个好数。最终的结果为 dp(0, True, False)。

注：数字 N 从最高位到最低位的索引，从 0 开始，并依次增大。第 i 位表示索引为 i 的位置。

算法

如果 equality_flag 为 true，表示第 i 位能取到的最大数字为 N 的第 i 位对应的数字。并且还需要根据当前状态决定可以写哪些数字。

在代码实现中，我们分别使用了自顶向下的方法和自底向上的方式。Python 代码实现的是自顶向下的方法，从 for d in xrange(...) 到 memo[...] = ans 这四行代码清晰的说明了状态之间的递归关系。

[solution2-Java]
class Solution {
    public int rotatedDigits(int N) {
        char[] A = String.valueOf(N).toCharArray();
        int K = A.length;

        int[][][] memo = new int[K+1][2][2];
        memo[K][0][1] = memo[K][1][1] = 1;
        for (int i = K - 1; i >= 0; --i) {
            for (int eqf = 0; eqf <= 1; ++eqf)
                for (int invf = 0; invf <= 1; ++invf) {
                    // We will compute ans = memo[i][eqf][invf],
                    // the number of good numbers with respect to N = A[i:].
                    // If eqf is true, we must stay below N, otherwise
                    // we can use any digits.
                    // Invf becomes true when we write a 2569, and it
                    // must be true by the end of our writing as all
                    // good numbers have a digit in 2569.
                    int ans = 0;
                    for (char d = '0'; d <= (eqf == 1 ? A[i] : '9'); ++d) {
                        if (d == '3' || d == '4' || d == '7') continue;
                        boolean invo = (d == '2' || d == '5' || d == '6' || d == '9');
                        ans += memo[i+1][d == A[i] ? eqf : 0][invo ? 1 : invf];
                    }
                    memo[i][eqf][invf] = ans;
                }
        }

        return memo[0][1][0];
    }

}

[solution2-Python]
class Solution(object):
    def rotatedDigits(self, N):
        A = map(int, str(N))

        memo = {}
        def dp(i, equality_flag, involution_flag):
            if i == len(A): return +(involution_flag)
            if (i, equality_flag, involution_flag) not in memo:
                ans = 0
                for d in xrange(A[i] + 1 if equality_flag else 10):
                    if d in {3, 4, 7}: continue
                    ans += dp(i+1, equality_flag and d == A[i],
                              involution_flag or d in {2, 5, 6, 9})
                memo[i, equality_flag, involution_flag] = ans
            return memo[i, equality_flag, involution_flag]

        return dp(0, True, False)

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(\log N)$，在 N 的每位数字上计算花费的时间。

• 空间复杂度：$O(\log N)$，memo 的存储空间。

统计信息

通过次数	提交次数	AC比率
18779	30835	60.9%

提交历史

提交时间	提交结果	执行时间	内存消耗	语言