原文链接: https://leetcode-cn.com/problems/nge-tou-zi-de-dian-shu-lcof

中文题目

把n个骰子扔在地上，所有骰子朝上一面的点数之和为s。输入n，打印出s的所有可能的值出现的概率。

 

你需要用一个浮点数数组返回答案，其中第 i 个元素代表这 n 个骰子所能掷出的点数集合中第 i 小的那个的概率。

 

示例 1:

输入: 1
输出: [0.16667,0.16667,0.16667,0.16667,0.16667,0.16667]

示例 2:

输入: 2
输出: [0.02778,0.05556,0.08333,0.11111,0.13889,0.16667,0.13889,0.11111,0.08333,0.05556,0.02778]

 

限制：

1 <= n <= 11

通过代码

高赞题解

文章可能没有很清晰的讲述代码中的一些细节，但这些细节大多都可在评论中找到，我都进行了详细的解释，希望对大家有帮助！

解题思路

题目需要我们求出所有点数出现的概率，根据概率的计算公式，点数 $k$ 出现概率就算公式为：
$$P_{(k)} = k出现的次数 / 总次数$$

投掷 $n$ 个骰子，所有点数出现的总次数是 $6^n$ ，因为一共有 $n$ 枚骰子，每枚骰子的点数都有 $6$ 种可能出现的情况。

我们的目的就是 计算出投掷完 $n$ 枚骰子后每个点数出现的次数。

使用递归造成的重复计算问题

感谢 @bakezq 对此部分提出了更容易理解的讲解方式。

单纯使用递归搜索解空间的时间复杂度为 $6^n$ ，会造成超时错误，因为存在重复子结构。解释如下：

我们使用递归函数 $getCount(n, k)$ 来表示投掷 $n$ 枚骰子，点数 $k$ 出现的次数。

为了简化分析，我们以投掷 $2$ 枚骰子为例。

我们来模拟计算点数 $4$ 和 点数 $6$ ，这两种点数各自出现的次数。也就是计算 $getCount(2, 4)$ 和 $getCount(2, 6)$。

它们的计算公式为：

$$
getCount(2, 4) = getCount(1, 1) + getCount(1, 2) + getCount(1, 3)
$$

$$
getCount(2, 6) = getCount(1, 1) + getCount(1, 2) + getCount(1, 3) + getCount(1, 4) + getCount(1, 5)
$$

我们发现递归统计这两种点数的出现次数时，重复计算了
$$
getCount(1, 1) , getCount(1, 2) , getCount(1, 3)
$$
这些子结构，计算其它点数的次数时同样存在大量的重复计算。

动态规划

使用动态规划解决问题一般分为三步：

1. 表示状态
2. 找出状态转移方程
3. 边界处理

下面我们一步一步分析，相信你一定会有所收获！

表示状态

分析问题的状态时，不要分析整体，只分析最后一个阶段即可！因为动态规划问题都是划分为多个阶段的，各个阶段的状态表示都是一样，而我们的最终答案在就是在最后一个阶段。

对于这道题，最后一个阶段是什么呢？

通过题目我们知道一共投掷 $n$ 枚骰子，那最后一个阶段很显然就是：当投掷完 $n$ 枚骰子后，各个点数出现的次数。

注意，这里的点数指的是前 $n$ 枚骰子的点数和，而不是第 $n$ 枚骰子的点数，下文同理。

找出了最后一个阶段，那状态表示就简单了。

• 首先用数组的第一维来表示阶段，也就是投掷完了几枚骰子。
• 然后用第二维来表示投掷完这些骰子后，可能出现的点数。
• 数组的值就表示，该阶段各个点数出现的次数。

所以状态表示就是这样的：$dp[i][j]$ ，表示投掷完 $i$ 枚骰子后，点数 $j$ 的出现次数。

找出状态转移方程

找状态转移方程也就是找各个阶段之间的转化关系，同样我们还是只需分析最后一个阶段，分析它的状态是如何得到的。

最后一个阶段也就是投掷完 $n$ 枚骰子后的这个阶段，我们用 $dp[n][j]$ 来表示最后一个阶段点数 $j$ 出现的次数。

单单看第 $n$ 枚骰子，它的点数可能为 $1 , 2, 3, … , 6$ ，因此投掷完 $n$ 枚骰子后点数 $j$ 出现的次数，可以由投掷完 $n-1$ 枚骰子后，对应点数 $j-1, j-2, j-3, … , j-6$ 出现的次数之和转化过来。

for (第n枚骰子的点数 i = 1; i <= 6; i ++) {
    dp[n][j] += dp[n-1][j - i]
}

写成数学公式是这样的：

$$
dp[n][j] = \sum_{i=1}^6 dp[n-1][j-i]
$$

$n$ 表示阶段，$j$ 表示投掷完 $n$ 枚骰子后的点数和，$i$ 表示第 $n$ 枚骰子会出现的六个点数。

边界处理

这里的边界处理很简单，只要我们把可以直接知道的状态初始化就好了。

我们可以直接知道的状态是啥，就是第一阶段的状态：投掷完 $1$ 枚骰子后，它的可能点数分别为 $1, 2, 3, … , 6$ ，并且每个点数出现的次数都是 $1$ .

for (int i = 1; i <= 6; i ++) {
    dp[1][i] = 1;
}

代码

class Solution {
public:
    vector<double> twoSum(int n) {
        int dp[15][70];
        memset(dp, 0, sizeof(dp));
        for (int i = 1; i <= 6; i ++) {
            dp[1][i] = 1;
        }
        for (int i = 2; i <= n; i ++) {
            for (int j = i; j <= 6*i; j ++) {
                for (int cur = 1; cur <= 6; cur ++) {
                    if (j - cur <= 0) {
                        break;
                    }
                    dp[i][j] += dp[i-1][j-cur];
                }
            }
        }
        int all = pow(6, n);
        vector<double> ret;
        for (int i = n; i <= 6 * n; i ++) {
            ret.push_back(dp[n][i] * 1.0 / all);
        }
        return ret;
    }
}; 

空间优化

我们知道，每个阶段的状态都只和它前一阶段的状态有关，因此我们不需要用额外的一维来保存所有阶段。

用一维数组来保存一个阶段的状态，然后对下一个阶段可能出现的点数 $j$ 从大到小遍历，实现一个阶段到下一阶段的转换。

<, , , , , , , , , , , , >

优化代码

class Solution {
public:
    vector<double> twoSum(int n) {
        int dp[70];
        memset(dp, 0, sizeof(dp));
        for (int i = 1; i <= 6; i ++) {
            dp[i] = 1;
        }
        for (int i = 2; i <= n; i ++) {
            for (int j = 6*i; j >= i; j --) {
                dp[j] = 0;
                for (int cur = 1; cur <= 6; cur ++) {
                    if (j - cur < i-1) {
                        break;
                    }
                    dp[j] += dp[j-cur];
                }
            }
        }
        int all = pow(6, n);
        vector<double> ret;
        for (int i = n; i <= 6 * n; i ++) {
            ret.push_back(dp[i] * 1.0 / all);
        }
        return ret;
    }
};

最后

感谢您的观看！欢迎大家留言，一起讨论交流。

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