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剑指 Offer 60-n个骰子的点数(n个骰子的点数 LCOF)
发表于:2021-12-03 | 分类: 中等
字数统计: 1.7k | 阅读时长: 7分钟 | 阅读量:

原文链接: https://leetcode-cn.com/problems/nge-tou-zi-de-dian-shu-lcof

中文题目

把n个骰子扔在地上,所有骰子朝上一面的点数之和为s。输入n,打印出s的所有可能的值出现的概率。

 

你需要用一个浮点数数组返回答案,其中第 i 个元素代表这 n 个骰子所能掷出的点数集合中第 i 小的那个的概率。

 

示例 1:

输入: 1
输出: [0.16667,0.16667,0.16667,0.16667,0.16667,0.16667]

示例 2:

输入: 2
输出: [0.02778,0.05556,0.08333,0.11111,0.13889,0.16667,0.13889,0.11111,0.08333,0.05556,0.02778]

 

限制:

1 <= n <= 11

通过代码

高赞题解

文章可能没有很清晰的讲述代码中的一些细节,但这些细节大多都可在评论中找到,我都进行了详细的解释,希望对大家有帮助!

解题思路

题目需要我们求出所有点数出现的概率,根据概率的计算公式,点数 $k$ 出现概率就算公式为:
$$P_{(k)} = k出现的次数 / 总次数$$

投掷 $n$ 个骰子,所有点数出现的总次数是 $6^n$ ,因为一共有 $n$ 枚骰子,每枚骰子的点数都有 $6$ 种可能出现的情况。

我们的目的就是 计算出投掷完 $n$ 枚骰子后每个点数出现的次数

使用递归造成的重复计算问题

感谢 @bakezq 对此部分提出了更容易理解的讲解方式。

单纯使用递归搜索解空间的时间复杂度为 $6^n$ ,会造成超时错误,因为存在重复子结构。解释如下:

我们使用递归函数 $getCount(n, k)$ 来表示投掷 $n$ 枚骰子,点数 $k$ 出现的次数。

为了简化分析,我们以投掷 $2$ 枚骰子为例。

我们来模拟计算点数 $4$ 和 点数 $6$ ,这两种点数各自出现的次数。也就是计算 $getCount(2, 4)$ 和 $getCount(2, 6)$。

它们的计算公式为:

$$
getCount(2, 4) = getCount(1, 1) + getCount(1, 2) + getCount(1, 3)
$$

$$
getCount(2, 6) = getCount(1, 1) + getCount(1, 2) + getCount(1, 3) + getCount(1, 4) + getCount(1, 5)
$$

我们发现递归统计这两种点数的出现次数时,重复计算了
$$
getCount(1, 1) , getCount(1, 2) , getCount(1, 3)
$$
这些子结构,计算其它点数的次数时同样存在大量的重复计算。

动态规划

使用动态规划解决问题一般分为三步:

  1. 表示状态
  2. 找出状态转移方程
  3. 边界处理

下面我们一步一步分析,相信你一定会有所收获!

表示状态

分析问题的状态时,不要分析整体,只分析最后一个阶段即可!因为动态规划问题都是划分为多个阶段的,各个阶段的状态表示都是一样,而我们的最终答案在就是在最后一个阶段。

对于这道题,最后一个阶段是什么呢?

通过题目我们知道一共投掷 $n$ 枚骰子,那最后一个阶段很显然就是:当投掷完 $n$ 枚骰子后,各个点数出现的次数

注意,这里的点数指的是前 $n$ 枚骰子的点数和,而不是第 $n$ 枚骰子的点数,下文同理。

找出了最后一个阶段,那状态表示就简单了。

  • 首先用数组的第一维来表示阶段,也就是投掷完了几枚骰子。
  • 然后用第二维来表示投掷完这些骰子后,可能出现的点数。
  • 数组的值就表示,该阶段各个点数出现的次数。

所以状态表示就是这样的:$dp[i][j]$ ,表示投掷完 $i$ 枚骰子后,点数 $j$ 的出现次数。

找出状态转移方程

找状态转移方程也就是找各个阶段之间的转化关系,同样我们还是只需分析最后一个阶段,分析它的状态是如何得到的。

最后一个阶段也就是投掷完 $n$ 枚骰子后的这个阶段,我们用 $dp[n][j]$ 来表示最后一个阶段点数 $j$ 出现的次数。

单单看第 $n$ 枚骰子,它的点数可能为 $1 , 2, 3, … , 6$ ,因此投掷完 $n$ 枚骰子后点数 $j$ 出现的次数,可以由投掷完 $n-1$ 枚骰子后,对应点数 $j-1, j-2, j-3, … , j-6$ 出现的次数之和转化过来。

for (第n枚骰子的点数 i = 1; i <= 6; i ++) {
    dp[n][j] += dp[n-1][j - i]
}

写成数学公式是这样的:

$$
dp[n][j] = \sum_{i=1}^6 dp[n-1][j-i]
$$

$n$ 表示阶段,$j$ 表示投掷完 $n$ 枚骰子后的点数和,$i$ 表示第 $n$ 枚骰子会出现的六个点数。

边界处理

这里的边界处理很简单,只要我们把可以直接知道的状态初始化就好了。

我们可以直接知道的状态是啥,就是第一阶段的状态:投掷完 $1$ 枚骰子后,它的可能点数分别为 $1, 2, 3, … , 6$ ,并且每个点数出现的次数都是 $1$ .

for (int i = 1; i <= 6; i ++) {
    dp[1][i] = 1;
}

代码

class Solution {
public:
    vector<double> twoSum(int n) {
        int dp[15][70];
        memset(dp, 0, sizeof(dp));
        for (int i = 1; i <= 6; i ++) {
            dp[1][i] = 1;
        }
        for (int i = 2; i <= n; i ++) {
            for (int j = i; j <= 6*i; j ++) {
                for (int cur = 1; cur <= 6; cur ++) {
                    if (j - cur <= 0) {
                        break;
                    }
                    dp[i][j] += dp[i-1][j-cur];
                }
            }
        }
        int all = pow(6, n);
        vector<double> ret;
        for (int i = n; i <= 6 * n; i ++) {
            ret.push_back(dp[n][i] * 1.0 / all);
        }
        return ret;
    }
}; 

空间优化

我们知道,每个阶段的状态都只和它前一阶段的状态有关,因此我们不需要用额外的一维来保存所有阶段。

用一维数组来保存一个阶段的状态,然后对下一个阶段可能出现的点数 $j$ 从大到小遍历,实现一个阶段到下一阶段的转换。

<幻灯片3.PNG, 幻灯片4.PNG, 幻灯片5.PNG, 幻灯片6.PNG, 幻灯片7.PNG, 幻灯片8.PNG, 幻灯片9.PNG, 幻灯片10.PNG, 幻灯片11.PNG, 幻灯片12.PNG, 幻灯片13.PNG, 幻灯片14.PNG, 幻灯片15.PNG>

优化代码

class Solution {
public:
    vector<double> twoSum(int n) {
        int dp[70];
        memset(dp, 0, sizeof(dp));
        for (int i = 1; i <= 6; i ++) {
            dp[i] = 1;
        }
        for (int i = 2; i <= n; i ++) {
            for (int j = 6*i; j >= i; j --) {
                dp[j] = 0;
                for (int cur = 1; cur <= 6; cur ++) {
                    if (j - cur < i-1) {
                        break;
                    }
                    dp[j] += dp[j-cur];
                }
            }
        }
        int all = pow(6, n);
        vector<double> ret;
        for (int i = n; i <= 6 * n; i ++) {
            ret.push_back(dp[i] * 1.0 / all);
        }
        return ret;
    }
};

最后

感谢您的观看!欢迎大家留言,一起讨论交流。

推荐阅读:动态规划初级试炼场

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