原文链接: https://leetcode-cn.com/problems/IlPe0q

中文题目

给定一个三角形 triangle ，找出自顶向下的最小路径和。

每一步只能移动到下一行中相邻的结点上。相邻的结点 在这里指的是 下标 与 上一层结点下标 相同或者等于 上一层结点下标 + 1 的两个结点。也就是说，如果正位于当前行的下标 i ，那么下一步可以移动到下一行的下标 i 或 i + 1 。

 

示例 1：

输入：triangle = [[2],[3,4],[6,5,7],[4,1,8,3]]
输出：11
解释：如下面简图所示：
   2
  3 4
 6 5 7
4 1 8 3
自顶向下的最小路径和为 11（即，2 + 3 + 5 + 1 = 11）。

示例 2：

输入：triangle = [[-10]]
输出：-10

 

提示：

• 1 <= triangle.length <= 200
• triangle[0].length == 1
• triangle[i].length == triangle[i - 1].length + 1
• -104 <= triangle[i][j] <= 104

 

进阶：

• 你可以只使用 O(n) 的额外空间（n 为三角形的总行数）来解决这个问题吗？

 

注意：本题与主站 120 题相同： https://leetcode-cn.com/problems/triangle/

通过代码

高赞题解

动态规划

三角形保存在方阵的下三角区域。从三角形的顶部到底部需要多步，而且每一步面临两个选择，最后需要计算所有路径的最小值，所以该问题可以用动态规划解决。

用 f(i, j) 表示从三角形的顶部出发到达行号和列号分别为 i 和 j (i >= j) 的位置时路径数字之和的最小值。如果 j 等于 0，也就是当前到达某行的第一个数字。由于路径的每一步都是前往正下方或右下方的数字，而此时当前位置的左上角无数字，所以

如果 i 等于 j，也就是当前到达某一行的最后一个数字，因为此时其上方无数字，所以前一步只能是来自于其左上角，所以

其他情况，当前位置的前一步可能来自于其正上方数字，也可能来自于左上角数字，因为要取最小值，所以

使用二维数组的完整代码如下，若方阵的维度为 n，那么时间复杂度为 O(n^2)，空间复杂度为 O(n^2)。

class Solution {
public:
    int minimumTotal(vector<vector<int>>& triangle) {
        vector<vector<int>> dp(triangle.size(), vector<int>(triangle.size()));
        dp[0][0] = triangle[0][0];
        for (int i = 1; i < triangle.size(); ++i) {
            dp[i][0] = dp[i - 1][0] + triangle[i][0];
        }

        for (int i = 1; i < triangle.size(); ++i) {
            for (int j = 1; j < i; ++j) {
                dp[i][j] = min(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - 1]) + triangle[i][j];
            }
            dp[i][i] = dp[i - 1][i - 1] + triangle[i][i];
        }

        return *min_element(dp.back().begin(), dp.back().end());
    }
};

同样可以优化为一维数组，完整代码如下，时间复杂度为 O(n^2)，空间复杂度为 O(n)。

class Solution {
public:
    int minimumTotal(vector<vector<int>>& triangle) {
        vector<int> dp(triangle.size());
        dp[0] = triangle[0][0];

        for (int i = 1; i < triangle.size(); ++i) {
            dp[i] = dp[i - 1] + triangle[i][i];
            for (int j = i - 1; j > 0; --j) {
                dp[j] = min(dp[j], dp[j - 1]) + triangle[i][j];
            }
            dp[0] += triangle[i][0];
        }

        return *min_element(dp.begin(), dp.end());
    }
};

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